Adaptive Meshverfeinerung für direkte Kollokationsmethoden der dynamischen Optimierung

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der effizienten, numerischen Lösung dynamischer Optimierungsprobleme auf Basis direkter Kollokation und unter Verwendung von Algorithmen zur adaptiven Meshverfeinerung. Eine neuartige h-Methode, eingebettet in ein neu entwickeltes Framework für dynamische Optimierung, wird vorgestellt. Das Framework basiert auf direkten Kollokationsmethoden mit gespiegelten Legendre-Gauss-Radau Punkten. Das adaptive Meshverfeinerungsverfahren zielt darauf ab, die Trajektorien der Steuervariablen auf Grundlage einer Steigungs- und Krümmungsanalyse in jedem Intervall durch sukzessive Bisektion zu homogenisieren. Unter Annahme der Konvergenz des Kollokationsansatzes für glatte Probleme kann die Terminierung des Verfahrens gezeigt werden. Der Algorithmus weist signifikante Vorteile im Bezug auf Laufzeit und Genauigkeit gegenüber traditionellen direkten Kollokationsmethoden auf. Zusätzlich ermöglicht das Framework eine zugängliche und ausdrucksstarke Modellierung und erweist sich bei einer Vielzahl von akademischen und realen Beispielproblemen als ausgesprochen effektiv.
Die vorgeschlagene $h$-Methode bietet jedoch Raum für Verbesserungen, da keine direkten Fehlerabschätzungen verwendet werden. Darüber hinaus wird gezeigt, dass die in dieser Arbeit untersuchte Problemklasse eine Erweiterung der Methode zu einer pseudospektralen Meshverfeinerungsmethode ermöglicht. Zusätzlich birgt die Integration des Algorithmus in eine moderne Modellierungs- und Simulationssoftware erhebliche Vorteile, da dies eine gesteigerte Performance, bessere symbolische Verarbeitung und eine Fehleranalyse sowie Validierung der Optimallösung bieten kann.